Bất đẳng thức Cosi và cách sử dụng bất đẳng thức Cosi

Ngay từ bậc Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với trung bình cộng và trung bình nhân rồi phải không nào? Và khi càng học cao hơn, chúng ta sẽ nhận thấy các bất đẳng thức còn được sử dụng với nhiều dạng khác nhau.

Trong đó được sử dụng nhiều nhất có lẽ chính là bất đằng thức Cosi. Vậy bất đẳng thức Cosi được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để chứng minh được bất đẳng thức Cosi? Có những kỹ thuật nào sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh các bất đẳng thức khác hay không?…

Mọi thắc mắc của các bạn liên quan đến bất đẳng thức Cosi sẽ được chúng tôi giải đáp ngay trong bài viết dưới đây. Hãy cùng theo dõi nhé!

Khái niệm bất đẳng thức Cosi

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát  biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Với n số thực không âm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức Cosi cho  3 số không âm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.

  • Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì bất đẳng thức luon đúng. Vì thế, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số dương mà thôi.

Đặt:

Suy ra:

Suy ra:

Bất đẳng thức được quy về:

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z tương đương a = b = c.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 4 số dương mà thôi.

Thay:

  • Ta được bất đẳng thức cosi cho 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương

n=2 thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.

Ta có thể chứng minh đơn giản vì:

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

Chọn:

Đây chính là bất đẳng thức cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức cosi

  • Quy tắc song hành: hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng, do đó, việc sử dụng các chứng minh một cách song hành sẽ giúp ta dễ hình dung ra kết quả hơn, cũng như định hướng cách giải nhanh hơn
  • Quy tắc dấu bằng: dấu “=” trong bất đẳng thức rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức. Do đó, bạn phải rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu “=”
  • Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: một nguyên tắc khi áp dụng song hành các bất đẳng thức đó là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải được dùng thỏa mãn cùng với một điều kiện của biến
  • Quy tắc biên: cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên
  • Quy tắc đối xứng: các bất đẳng thức thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : “≥”, “≤” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức khác

Các bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây nhé.

Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a, b. Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1.

Ví dụ 2: Cho a, b > 0. Chứng minh:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

Đẳng thức xảy ra <=> a = b.

Như vậy, trên đây là những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cosi mà itqnu.vn đã chia sẻ với các bạn. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ phần nào giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập của mình nhé. Chúc các bạn thành công!